Induksi
matematika merupakan
pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut
juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang
menyangkut bilangan-bilangan asli.
Pembuktian
cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar
untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam
himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar
untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu
benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1
(atau S(k + 1) benar).
Contoh
Buktikan
bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2.
Persamaan
yang perlu dibuktikan:
Langkah
pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
untuk , benar bahwa
Langkah
pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula
untuk , yaitu
sekarang
sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai
dengan pengandaian awal
kemudian
padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
, ingat bahwa
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.
Jadi, benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.
Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang
dikembangkan untuk§
Induksi Matematika digunakan untuk mengecek§membuktikan pernyataan
§hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu n"Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan
universal statements N dan N adalah
himpunan bilangan positif atauÌ A S(n) dengan A Î S(n) adalah
fungsi propositional§himpunan bilangan asli.
Inductive Step : Sumsikan S(k) benarØ Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar ØTAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA
Akan
dibuktikan S(k+1) benar®S(k)
Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n
bilangan integerØ
positif
PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :
1 = 1®1 = ½ 1 .
(1+1)
Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan
1 + 2 + 3 + …+ k = ½ kq
adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)q(k+1)
1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 +
3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2qJawab :
k (k+1) / 2
+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1)
(k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2
Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n
+1) Untuk setiap bqilanga bulat positif n
Contoh
2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 untuk setiap n
bilangan bulat positif
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :
1 = 1®1 = 12
Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan
1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) =q
adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k +qk2 1)2 1 + 3 +
5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2
k 2 + (2K +
1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1
Kesimpulan :
1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n
Contoh
3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n
bilangan bulat positif
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :
1 = 13 +
2(1) 1 = 3 , kelipatan 3®
adib.q Induksi : misalkan untuk n = k
asumsikan k 3 + 2k = 3x q Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 +
2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 +
3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 +
k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan
bulat positif n